SUMA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS CON EL MISMO DENOMINADOR

La suma de fracciones algebraicas con el mismo denominador es otra fracción algebraica con el mismo denominador y cuyo numerador es la suma de los numeradores.

Ejemplo

Sumar las fracciones algebraicas:

IMAGEN DE LA SUMA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS CON EL MISMO DENOMINADOR

      

SIMPLIFICACION DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

SIMPLIFICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES / EJERCICIOS RESUELTOS
	EJEMPLO 1: Hay que factorizar todo lo que se pueda, tanto en el numerador como en el denominador. En el numerador apliqué el 5to Caso (Diferencia de Cuadrados); y en el denominador, el 1er Caso (Factor Común). Luego, se simplifican los polinomios que "aparezcan repetidos", siempre tachando "uno de arriba con uno de abajo", como en este caso el binomio (x - 2). Condición para simplificar: x desigual a 2. EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1  EJEMPLO 2: ("Cuando se cancela todo el denominador") En este ejemplo se simplificó el único polinomio que había en el denominador. El resultado es lo que queda sin tachar en el numerador de la fracción. Condición para simplificar: x desigual a -3. EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2 EJEMPLO 3: ("Cuando se cancela todo el numerador") En este ejemplo se simplificó el único polinomio que había en el numerador. Entonces la fracción queda con un "1" como numerador. Condición para simplificar: x desigual a -4. EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3 EJEMPLO 4: (Se simplifica un polinomio que está elevado al cuadrado) Hay un polinomio al cuadrado que se puede simplicar con otro. Tacho el "2" del cuadrado y tacho el otro polinomio. Condición para simplificar: x desigual a 3. EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4 EJEMPLO 5: ("Cuando se simplifica la x") Después de factorizar, queda la "x" (o cualquier letra del polinomio) multiplicando tanto en el numerador como en el denominador, entonces se puede simplicar. Condición para simplificar: x desigual a 0. EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5
EJEMPLO 6: ("Cuando quedan números para simplicar") Después de factorizar, quedan números multiplicando tanto en el numerador como en el denominador. El "6" y el "8" se pueden simplificar dividiendo por 2 (como en las fracciones numéricas). Condición para simplificar: ninguna. EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 6 EJEMPLO 7: ("Cuando los números que quedan son fracciones") Después de factorizar, quedan fracciones multiplicando en el numerador y en el denominador. Se puede dividir la fracción de "arriba" con la de "abajo" para que quede una sola fracción en el resultado. Aquí dividí 1/2 : 1/3 = 3/2. Condición para simplificar: ninguna. EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 7 MÁS EJEMPLOS: EJEMPLO 8: EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 8 EJEMPLO 9: EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 9 EJEMPLO 10: EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 10 EJEMPLO 11: EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 11 EJEMPLO 12: IMAGEN DE LA SIMPLIFICACION DE FRACCIONES

CLASES DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

                      CLASIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Fracción algebraica simple

Es la que el numerador y denominador son expresiones racionales enteras. Son ejemplos de fracciones simples:

.

Fracción propia e impropia

Una  fracción simple se llama propia si el grado del numerador es menor que el grado del denominador; y se llama impropia si el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador.

Por ejemplo,  son fracciones propias, mientras que  son fracciones impropias. Una fracción impropia puede escribirse como la suma de un polinomio y una fracción propia.

Fracción compuesta

Una fracción compuesta es aquella que contiene una o más fracciones ya sea en su numerador o en su denominador, o en ambos. Son ejemplos de fracciones compuestas:

_{IMAGEN DE LAS FRACCIONES ALGEBRAICAS}

DEFINICION DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

DEFINICIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Se llama fracción o quebrado al cociente indicado de dos expresiones algebraicas cualesquiera. El dividendo se llama numerador y el divisor se llama denominador y ambos se conocen como términos del quebrado. Así,a/b es una fracción algebraica porque es el cociente indicado de la expresión a (dividendo) entre expresión b(divisor).

Fracción algebraica simple

Es la que el numerador y denominador son expresiones racionales enteras. Son ejemplos de fracciones simples:

.

Fracción propia e impropia

Una  fracción simple se llama propia si el grado del numerador es menor que el grado del denominador; y se llama impropia si el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador.

Por ejemplo,  son fracciones propias, mientras que  son fracciones impropias. Una fracción impropia puede escribirse como la suma de un polinomio y una fracción propia.

Fracción compuesta

Una fracción compuesta es aquella que contiene una o más fracciones ya sea en su numerador o en su denominador, o en ambos. Son ejemplos de fracciones compuestas:

_{IMAGEN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS}

MINIMO COMUN MULTIPLO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE POLINOMIOS.

Regla General.

Se descomponen cada una de las expresiones dadas en sus factores primos (Caso.  I Factor Común de Polinomios); y el m.c.m.  es el producto de los factores primos  comunes y no comunes , con su mayor exponente.

1) Hallar el m.c.m. de 3x +3   ,  6x -6

>> Descomponiendo las expresiones dadas:

> 3x +3  =  3(x +1)

> 6x -6 = 6(x -1) = (3)(2)(x -1)

–> el m.c.m. es =   (3)(2)(x +1)(x -1) = 6(x -1)^2  <–  Solución.

____________________________________________________

2) Hallar el m.c.m. de   5x +10   ,   10x^2 -40

>> Descomponiendo las expresiones dadas:

> 5x +10 = 5(x +2)

> 10x^2 -40 = (5)(2)(x^2 -4) = (5)(2)(x +2)(x -2)

–> el m.c.m es  =    (5)(2)(x +2)(x -2) = 10(x^2 -4)   <– Solución.

____________________________________________________

3)  Hallar el m.c.m. de   x^3 +2x^2y   ,   x^2 -4y^2

>>  Descomponiendo las expresiones dadas:

> x^3 +2x^2y =  x^2(x +2y)

> x^2 -4y^2 = (x +2y)(x -2y)

–>  el m.c.m.  =     x^2(x +2y)(x -2y) = x^2(x^2 -4y^2)   <–  Solución.

_____________________________________________________

4) Hallar el m.c.m. de   3a^2x -9a^2   ,   x^2 -6x +9

>> Descomponiendo las expresiones dadas:

> 3a^2x -9a^2 =  3a^2(x -3)

> x^2 -6x +9 = (x -3)^2

–> el m.c.m.   =  3a^2(x -3)^2    <–   Solución.

IMAGEN DE MINIMO COMUN MULTIPLO

                                                                    

MAXIMO COMUN DIVISOR DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

MAXIMO COMUN DIVISOR

FACTOR COMUN O DIVISOR COMUN. De dos o mas expresiones algebraicas es toda expresión algebraica que està contenida exactamente en cada una de las primeras.

Asi , x es divisor comùn de 2x y x2; 5ab es divisor comun de 10ª3 b2 y 15ª4b.

Una expresión algebraica es prima cuando sòlo es dividible por ella misma y por la unidad. Asì ,a , b ,a+b y 2x-1 son expresiones primas.

Dos o mas expresiones algebraicas son primas entre si cuando el ùnico divisor comun que tienen es la unidad ,como 2x y 3b; a+b y a-x

MÁXIMO COMUN DIVISOR de dos o mas expresiones algebraicas es grado que esta contenida exactamente en cada una de ellas .

Asi , el m.c.d. de10a2b y 20a 3 es 10a 2; el m.c.d. de 8a 3n2, 24an3 y 40a 3n4p es 8an2

M.C.D. DE POLINOMIOS.

REGLA.

Se halla el m.c.d.de los coeficientes y a continuación de èste se escriben las letras comunes, dando a cada letra el menor exponente que tenga en las expresiones dadas.

(1) Hallar el m.c.d. de a2x2 y x a3 bx

el m.c.d. de los coeficientes es 1. las letras comunes son a y x tomamos a con su menor exponente : a2 y x con su menor exponente x; la b no se toma porque no es comun . el m.c.d. sera a2x. R.

(2) Hallar el m.c.d. de 36a 2b4, 48a 3b3c y 60a 4b3m

descomponiendo en factores primos los coeficientes ,tenemos . 36a 2b4=22.32.a2b4

48a3 b3c=24.3.a3b3c

60a4b3m=22.3.5.a4b3m

el m.c.d. de los coeficientes es 22 .3. las letras comunes son a y b . tomamos a con su menor exponente : a2 y b con su menor exponente : b3; c y m no se toman porque no son comunes. Tendremos: m.c.d. = 22.3.a2b3= 12a2b3 R.

M.C.D DE POLINOMIOS

Al hallar el m.c.d. de dos o mas polinomios puede ocurrir que los polinomios puedan factorarse fácilmente o que su descomposición no sea sencilla. En el primer caso se halla el m.c.d. factorando los polinomios dados ; en el segundo caso se halla el m.c.d. por divisiones sucesivas.

m.c.d. de polinomios por descomposicion en factores .

REGLA.

Se descomponen los polinomios dados en susfactores primos . el m.c.d. es el producto de los factores comunes con su menor exponente.

(1) Hallar el m.c.d. de 4a2+ 4ab y 2a4-2a2b2

factorando estas expresiones : 4a2+4ab =4a (a+b)=22a (a+b)

2a2-2a2b2=2a2(a+b)(a-b)

los factores comunes son 2, a y (a+b),luego m.c.d.=2 a(a+b) R.

(2) Hallar el m.c.d. de x2-a, x2-x-6 y x2+4x+4

factorando x2-4=(x+2) (x-2)

x2-x-6=(x-3) (x+2)

x2+4x+4=(x+2)

el factor comun es (x+2) y se toma con su menor exponente, luego m.c.d.= x+2. R.

                                             IMAGEN DE MAXIMO COMUN DIVISOR

                                                              

CLASES DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

CLASES DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Fracción algebraica simple
Es la que el numerador y denominador son expresiones racionales enteras.





Fracción propia e impropia 
Una fracción simple se llama propia si el grado del numerador es menor que el grado del denominador; y se llama impropia si el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador.

Fracción compuesta

Una fracción compuesta es aquella que contiene una o más fracciones ya sea en su numerador o en su denominador, o en ambos.

INICION y SIGNOS DE UNA FRACCION

DEFINICION 
Se llama fracción algebraica al cociente indicado de dos polinomios P(x):Q(x). El dividendo se llama numerador y el divisor se llama denominador .


Ejemplo:








SIGNOS 

Toda fracción algebraicas tiene tres signos:

Signo del Numerador, Signo del Denominador y Signo de la Fracción


IMAGEN DE LAS CLASES DE FRACCIONES ALGEBRAICAS