POTENCIAS DE DIEZ Y NOTACIÓN CIENTIFICA

POTENCIAS DE DIEZ Y NOTACIÓN  CIENTÍFICA

Potencia de Diez y Notación Científica

31 de marzo de 2011 Publicado por Monica González

Aquí en La Guía de Física ya hemos visto varios ejemplos, principalmente en la electricidad, donde utilizamos numerosas expresiones en potencia de diez y notaciones científicas.

En este artículo veremos lo que es la potencia de diez y la notación científica y como esta notación matemática nos puede ayudar en la resolución de problemas de Física.

Tal vez este texto pueda parecer demasiado simple, pero muchos alumnos frecuentemente tienen muchas dudas al respecto de la utilización de la potencia de diez, por eso corresponde abocarnos a una explicación clara sobre la misma.

En muchos ejercicios nos encontramos con la dificultad de presentar una distancia muy grande en una unidad no adecuada, por ejemplo, representar la distancia de la Tierra y la Luna en centímetros. Bien, colocar todos los algoritmos de esta distancia en centímetros, daría un gran trabajo para no equivocarse en la cantidad de ceros a ser utilizados.

Pero existe una forma más fácil, solo utilizando la notación científica. La notación científica consiste en representar los números, seguidos de la potencia de diez.

La potencia de diez es utilizada para abrevar múltiplos (o submúltiplos) de diez como sigue:

100 = 10 x 10;

1000 = 10 x 10 x 10;

100000 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10.

Para escribir estos números de una forma abreviada, basta indicar el número de decenas involucradas en la multiplicación con un pequeño número (exponente) encima de la potencia de diez.

Así entonces, si 100 = 10 x 10, podemos decir que 100 = 102. De la misma forma 1000 = 103 y 100000 = 105.

En estos ejemplos, el exponente es igual al número de ceros.

Para los submúltiplos de diez, también utilizamos el sistema exponencial. Así:

0,01 = 1/10 x 1/10

0,001 = 1/10 x 1/10 x 1/10

0,00001 = 1/10 x 1/10 x 1/10 x 1/10 x 1/10

En este caso, para abreviar esos números indicamos el número de espacios decimales con exponente negativo encima de la potencia de 10.

Entonces si 0,01 = 1/10 x 1/10, podemos expresar que 0,01 = 10-2. De la misma forma,  0,001 = 10-3 e 0,00001 = 10-5.

Para escribir un número en notación científica debemos obedecer el siguiente formato: A x 10B donde A debe ser un número que esté entre 1 y 9, o sea, debe ser mayor o igual a 1 y menor que 10 y B un número de ceros (o espacios decimales si el exponente fuese negativo) del número.

Veamos ahora algunos ejemplos:

40 es igual a 4 veces 10 1, entonces en notación científica se representa 40 = 4 x 101.

15000 es igual a 15 veces 1000, o 1,5 veces 10000. Como 10000 que es igual a 104 entonces en notación científica podemos representarlo como 1,5 x 104.

0,2 se corresponde a 2 dividido entre 10, o 2 multiplicado por 0,1 que se corresponde a 1/10.

Como 1/10 puede ser representado como 10-1, entonces en notación científica podemos representarlo como 0,2 = 2 x 10-1.

Notamos entonces que es mucho más fácil representar números muy grandes o muy pequeños utilizando la notación científica de la potencia de diez.

                                                 IMAGEN DE POTENCIAS DE DIEZ

                                                   

PROBLEMAS POR ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES

Pasos para resolver problemas por ecuaciones lineales con dos variables

Para resolver estos problemas podemos seguir tres pasos: 1. Elegir las incógnitas x e y que siempre coinciden con lo que nos preguntan en el problema. 2. Plantear dos ecuaciones traduciendo el problema al lenguaje algebraico 3. Resolver el sistema. Por último conviene siempre comprobar que la solución es correcta o al menos que tiene sentido. Hay una serie de “problemas tipo” que se resuelven fácilmente y el planteamiento de las ecuaciones siempre es igual. Pero también hay problemas para los que el planteamiento de las ecuaciones es más complicado. Lee el enunciado las veces que haga falta hasta que comprendas las dos ecuaciones que hay que plantear.

Ejemplo 1

El costo total de 5 libros de texto y 4 lapiceros es de $32.00; el costo total de otros 6 libros de texto iguales y 3 lapiceros es de $33.00. Hallar el costo de cada artículo.

SOLUCIÓN: Sea x= el costo de un libro en pesos, y y= el costo de un lapicero en pesos. Según el problema obtenemos las dos ecuaciones:

La solución de este sistema es de x=4, y y=3, es decir, el costo de cada libro de texto es $4.00 y el costo de cada lapicero es $3.00. Estos resultados pueden comprobarse fácilmente. Así, el costo de 5 libros de texto y 4 lapiceros es igual a 5(4) +4(3) = $32 y el costo de 6 libros de texto y 3 lapiceros es igual a 6(4) +3(3) = $33.

IMAGEN DE LAS ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES 

                                          

EJERCICIOS RESUELTOS DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES POR EL METODO GRAFICO

EJERCICIOS DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES POR EL METODO GRAFICO.

Sistemas método gráfico rectas coincidentes

Sistemas método gráfico rectas paralelas

IMAGEN DE METODO GRAFICO

 TIENE UNA SOLUCION

 TIENE INFINITAS SOLUCIONES

 NO TIENE SOLUCION LAS RECTAS SON PARALELAS

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES POR EL METODO GRAFICO

Sistemas de Ecuaciones Lineales - Método Gráfico.

Para aplicar el método gráfico se realizan los siguientes pasos:

1. Se despeja la incógnita (y) en ambas ecuaciones.
2. Se construye para cada una de las ecuaciones la tabla de valores correspondientes.
3. Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
4. Se hallan los puntos de intercepción. Puede suceder los siguientes casos:
   i) Las rectas se intersectan en un punto, cuyas coordenadas (a, b) es la solución del sistema (figura 1).
   ii) Las dos rectas coinciden, dando origen a infinitas soluciones (figura 2).
   iii) Las dos rectas son paralelas (no se intersectan), por lo tanto no hay solución (figura 3).

GRAFICAS DEL SISTEMA DE ECUACIONES POR EL METODO GRAFICO

EJERCICIOS CON DETERMINANTES

IMAGEN DE EJERCICIOS RESUELTOS CON DETERMINANTES

1Calcula el valor del determinante:

2Aplicando las propiedades de los determinantes, calcular:

                  

3Aplicando las propiedades de los determinantes, calcular:

4 Pasando a determinantes triangulares, calcular el valor de:

      

5Calcular los determinantes de Vandermonde:

       

6Calcular el valor de los siguientes determinantes:

           

CLASES DE DETERMINANTES

CLASES DE DETERMINANTES

1. DETERMINANTES DE ORDEN  2

Sea  A  una matriz cuadrada de orden 2, Se llama  determinante  de  A  al  número real: Es decir, el determinante de una matriz cuadrada de orden  2  es igual al producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria.

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2. DETERMINANTES DE ORDEN  3

Dada una matriz cuadrada  A  de orden 3, se llama  determinante  de  A  al  número real: La regla de Sarrus permite recordar fácilmente el desarrollo del determinante de una matriz de orden  3. Los productos con signo  " + ", están formados por los elementos de la diagonal  principal, y los de las dos diagonales paralelas (por encima y por debajo), con su correspondiente vértice opuesto. Los productos con signo  " - ", se forman con los elementos de la diagonal secundaria y los de las dos diagonales paralelas, con su correspondiente vértice opuesto.          IMEGEN DE LOS DETERMINANTES DE SEGUNDO Y TERCER ORDEN

DETERMINANTES

DETERMINANTES

Definición de determinante

A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de A , denotado por |A| o por det (A).

Determinante de orden uno

|a ₁₁| = a ₁₁

Determinante de orden dos

 = a ₁₁ a ₂₂ − a ₁₂ a ₂₁

Determinante de orden tres

=

a₁₁ a₂₂ a₃₃ + a₁₂ a₂₃ a₃₁ + a₁₃ a₂₁ a₃₂ −

− a ₁₃ a₂₂ a₃₁ − a₁₂ a₂₁ a ₃₃ − a₁₁ a₂₃ a_32.

Regla de Sarrus

Los términos con signo + están formados por los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

Los términos con signo − están formados por los elementos de la diagonal secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

        IMAGEN DE LOS DETERMINANTES