CLASES DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

CLASES DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Fracción algebraica simple
Es la que el numerador y denominador son expresiones racionales enteras.





Fracción propia e impropia 
Una fracción simple se llama propia si el grado del numerador es menor que el grado del denominador; y se llama impropia si el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador.

Fracción compuesta

Una fracción compuesta es aquella que contiene una o más fracciones ya sea en su numerador o en su denominador, o en ambos.

INICION y SIGNOS DE UNA FRACCION

DEFINICION 
Se llama fracción algebraica al cociente indicado de dos polinomios P(x):Q(x). El dividendo se llama numerador y el divisor se llama denominador .


Ejemplo:








SIGNOS 

Toda fracción algebraicas tiene tres signos:

Signo del Numerador, Signo del Denominador y Signo de la Fracción


IMAGEN DE LAS CLASES DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

FRACCIONES ALGEBRAICAS

                                                   

DEFINICIÓN DE FRACCIÓN ALGEBRAICA

Álgebra

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DEFINICIÓN DE FRACCIÓN ALGEBRAICA

Las fracciones algebraicas son expresiones literales que representan el cociente entre dos expresiones algebraicas.

Pulsa el botón EJEMPLO y verás un ejemplo de una fracción algebraica.

Fracciones equivalentes Dos fracciones son equivalentes si toman el mismo valor numérico para cualquier valor de sus variables que no anule el denominador. Así, las fracciones algebraicas  (insertar imagen) son equivalentes, pues si damos a x e y el valor 1, obtenemos en las dor fracciones algebraicas el mismo valor, 1/2. Al igual que ocurre con las fracciones numéricas:  Dos fracciones algebraicas, A(x)/B(x)   y C(x)/D(x) , son equivalentes si se verifica que A (x) · D (x) = B (x) · C (x). (insertar imagen de ejemplo de dos fracciones algebraicas equivalentes)

Pulsa el botón EJEMPLO y verás un ejemplo de fracciones algebraicas equivalentes. IMAGEN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

RESTO DE LA DIVISION SIN REALIZAR LA OPERACION

Teorema del resto

El resto de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma (x − a) es el valor numérico de dicho polinomio para el valor: x = a.

P(x) : Q(x)

P(x)= x⁴ − 3x² +2         Q(x)= x − 3

Calculo el resto de la división por el teorema del resto

P(3) = 3⁴ − 3 · 3² + 2 = 81 − 27 + 2 = 56

Ejercicios

Halla el resto de las siguientes divisiones:

1(x⁵ − 2x² − 3) : (x −1)

R(1) = 1⁵ − 2 · 1² − 3 = −4

2(2x⁴ − 2x³ + 3x² + 5x +10 ) : (x + 2)

R(−2) = 2 · (−2)⁴ − 2 · (−2)³ + 3 · (−2)² + 5· (−2) + 10 =

= 32 + 16 + 12 − 10 + 10 = 60

Indica cuáles de estas divisiones son exactas:

1(x³ − 5x − 1) : (x − 3)

P(3) = 3³ − 5 · 3 − 1 = 27 − 15 − 1 ≠ 0

No es exacta.

2(x⁶ − 1) : (x + 1)

P(−1) = (−1)⁶ − 1 = 0

Exacta

3(x⁴ − 2x³ + x² + x − 1) : (x − 1)

P(1) = 1⁴ − 2 · 1³ + 1 ² + 1 − 1 = 1 − 2 + 1 + 1 − 1 = 0

Exacta

4(x¹⁰ − 1024) : (x + 2)

P(−2) = (−2)¹⁰ − 1024 = 1024 − 1024 = 0

Exacta

IMAGEN DEL RESTO DE LA DIVISION

DIVISION DE POLINOMIOS

División de polinomios

Para explicar la división de polinomios nos valdremos de un ejemplo práctico:

P(x) = x⁵ + 2x³ − x − 8         Q(x) = x² − 2x + 1

P(x) :  Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

x⁵ : x² = x³

Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

2x⁴ : x² = 2 x²

Procedemos igual que antes.

5x³ : x² = 5 x

Volvemos a hacer las mismas operaciones.

8x² : x² = 8

10x − 16 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.

x³ + 2x² + 5x + 8 es el cociente.

        IMAGEN DE LA DIVISION DE POLINOMIOS

                

MULTIPLICACION DE POLINOMIOS

MULTIPLICACION DE POLINOMIOS

1. Multiplicación de un número por un polinomio

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número y dejando las mismas partes literales.

Ejemplo

3 · (2x³ − 3x² + 4x − 2) = 6x³ − 9x² + 12x − 6

2. Multiplicación de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.

Ejemplo: 

3x² · (2x³ − 3x² + 4x − 2) =
= 6x⁵− 9x⁴ + 12x³ − 6x²

3. Multiplicación de polinomios

Este tipo de operaciones se puede llevar a cabo de dos formas distitnas.

Mira la demostración con el siguiente ejemplo:

P(x) = 2x² − 3       Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x

OPCIÓN 1

1Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del segundo polinomio.

P(x) · Q(x) = (2x² − 3) · (2x³ − 3x² + 4x) =
= 4x⁵ − 6x⁴ + 8x³ − 6x³+ 9x² − 12x =

2Se suman los monomios del mismo grado.

= 4x⁵ − 6x⁴ + 2x³ + 9x² − 12x

3Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

Grado del polinomio = Grado de P(x) + Grado de Q(x) = 2 + 3 = 5

OPCIÓN 2

RESTA DE POLINOMIOS

                                                    DEFINICION DE RESTA DE POLINOMIOS

Un polinomio es una expresión algebraica formada mediante la unión de dos o más constantes y variables, relacionadas a través de operaciones de resta con los polinomios se pueden llevar a cabo distintos cálculos.

Para realizar una resta de polinomios, es necesario agrupar los monomios (las expresiones de un único término) de acuerdo a sus características y proceder a la simplificación de aquellos que resultan semejantes. La operación en sí se realiza sumando el opuesto del sustraendo al minuendo.

Tomemos el siguiente ejemplo: P(x) − Q(x) = (4×3 + 2x − 5) − (3×3 − 4×2 + 5x)

Según lo explicado anteriormente, tenemos que modificar los signos del sustraendo para realizar la operación: 4×3 + 2x − 5 − 3×3 + 4×2 − 5x. Como se puede advertir, los signos del minuendo no cambian (4×3 + 2x − 5).

Hecho esto, debemos agrupar y simplificar los monomios: 4×3 − 3×3 + 4×2 + 2x − 5x − 5.

Finalmente completamos la operación de acuerdo a los monomios que quedaron: x3 + 4×2 − 3x − 5.

El resultado de la resta de polinomios (4×3 + 2x − 5) − (3×3 − 4×2 + 5x) es, en definitiva, x3 + 4×2 − 3x − 5.

Otra forma de restar polinomios consiste en escribir el opuesto de cada uno debajo del otro. Así, los monomios semejantes quedarán encolumnados y podemos proceder a sumarlos.

Es importante tener en cuenta que no importa cuál de las técnicas de resta de polinomios elijamos: el resultado de la operación, siempre que se realice correctamente, será el mismo.

Los polinomios tienen diversas aplicaciones fuera del ámbito de las matemáticas y, del mismo modo que ocurre con muchos otros conceptos a simple vista demasiado específicos, no siempre somos conscientes de ello. 

IMAGEN DE LA RESTA DE POLINOMIOS

                                                     

SUMA DE POLINOMIOS

OPERACIONES CON POLINOMIOS: SUMA DE POLINOMIOS EJEMPLO 1: (Suma de polinomios de igual grado) A = - 3x2 + 2x4 - 8 - x3  + 1/2 x B = -5x4 - 10 + 3x + 7x3     2x4  -  x3  - 3x2 + 1/2 x  -  8          (el polinomio A ordenado y completo) +    -5x4 + 7x3 + 0x2  +   3x  -  10          (el polinomio B ordenado y completo) ______________________________    -3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x  - 18 A + B = -3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x  - 18 Para sumar dos polinomios, hay que sumar entre sí los coeficientes de los términos del mismo grado El resultado de sumar dos términos del mismo grado, es otro término del mismo grado. Si falta algún término de alguno de los grados, se puede completar con 0, como en el ejemplo en el segundo polinomio se completó con 0x2. Y se los suele ordenar de mayor a menor grado, para que en cada columna queden los términos de igual grado. También se los puede sumar de otra forma (sin ponerlos uno sobre otro), y en la EXPLICACIÓN de cada ejercicio lo mostraré resuelto de las dos maneras. EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1  EJEMPLO 2: (Suma de polinomios de distinto grado) A = -3x2 + 5x - 4             (grado 2) B = 4x3 - 5x2 + 2x + 1      (grado 3)     0x3 - 3x2 + 5x - 4          (el polinomio A ordenado y completo) +    4x3  - 5x2 + 2x + 1         (el polinomio B ordenado y completo) ____________________    4x3  - 8x2 + 7x - 3 A + B = 4x3  - 8x2 + 7x - 3 En el polinomio de menor grado, se pueden completar los primeros términos con ceros. Así, se rellenan las columnas que faltan adelante de uno de los polinomios, para que quede encolumnado término a término con el otro polinomio. EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2

EJEMPLO 3: (Uno de los términos del resultado es cero) A = 9 + 5x3 - 4x2 + x B = 4x2 - 3 - 2x    5x3  - 4x2 + x + 9 +    0x3 + 4x2 - 2x - 3 ____________________    5x3 + 0x2 - x  + 6 A + B = 5x3 - x  + 6 La suma de los términos de grado 2 dió 0x2. Luego, en el resultado final ya no se ponen los términos con coeficiente cero. EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3 EJEMPLO 4: (No hay términos semejantes) A = 4x3 + 5 B = -2x + x2    4x3 + 0x2 + 0x + 5 +    0x3 +  x2 - 2x + 0 ____________________    4x3 +  x2 - 2x + 5 A + B =  4x3 +  x2 - 2x + 5 Se llama términos "semejantes" a los que tienen el mismo grado (en los polinomios con un solo tipo de letra). Entre estos dos polinomios no hay términos semejantes. Se puede observar que el resultado es la suma de todos términos de los dos polinomios, sin modificarse ninguno, ya que a cada uno se le sumó cero, por no tener otro término semejante. EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4 EJEMPLO 5: (Suma de polinomios de varias letras) A = -3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy B = 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y A + B = (-3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy) + (8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y) = -3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy + 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y = -3xy2 - 6x2y + 4 + 10 - 5xy + 8xy - 2xy2  + 4x3y  - 7x2y2 = -9xy2 + 14 + 3xy - 2xy2  + 4x3y - 7x2y2 Cuando los polinomios tienen varias letras, se suman los términos semejantes, que son los que tienen las mismas letras con los mismos exponentes (la misma"parte literal"). Para sumar estos polinomios, no es práctico usar el procedimiento de ordenarlos y sumarlos "en columnas", porque en general hay pocas coincidencias entre sus partes literales. Así que es mejor sumarlos "uno al lado del otro" y "juntar" los términos de igual parte literal. IMAGEN DE LA SUMA DE POLINOMIOS