FUNCION DE PROPORCIONALIDAD INVERSA

La función de proporcionalidad inversa. La función hiperbólica. Hipérbolas

Gráfica de nna función hiperbólica. Hipérbola.

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La función de proporcionalidad inversa es una función real de variable real cuya ecuación viene dada por f(x)=kx$f(x)={\displaystyle \frac{k}{x}}$, donde k$k$ es un número real distinto de cero. La gráfica de la función de proporcionalidad inversa es una hipérbola. Es muy fácil darse cuenta de que si x→±∞$x\to \pm \mathrm{\infty }$, entonces f(x)→0$f(x)\to 0$; y si x→0$x\to 0$, entonces f(x)→±∞$f(x)\to \pm \mathrm{\infty }$. Es decir:

De lo anterior se deduce que las asíntotas de la función son el eje X$X$ (asíntota horizontal de ecuación y=0$y=0$) y el eje Y$Y$ (asíntota vertical de ecuación x=0$x=0$).

Así pues, la gráfica de la función de proporcionalidad inversa es una hipérbola de asíntotas los ejes de coordenadas. La situación de las dos ramas de la hipérbola viene determinada por el signo de k$k$. Si k>0$k>0$ las ramas de la hipérbola se encuentran en el primer y tercer cuadrantes. Y si k<0$k<0$ las ramas de la hipérbola se encuentran en el segundo y cuarto cuadrantes. En la figura siguiente están representadas las funciones f(x)=2x$f(x)={\displaystyle \frac{2}{x}}$ (en color rojo) y f(x)=−2x$f(x)={\displaystyle \frac{-2}{x}}$ (en color azul).

Las funciones del tipo f(x)=acx$f(x)={\displaystyle \frac{a}{cx}}$ no son distintas de las anteriores pues acx=a/cx${\displaystyle \frac{a}{cx}}={\displaystyle \frac{a/c}{x}}$, con lo que se trata de funciones de proporcionalidad inversa con k=ac$k={\displaystyle \frac{a}{c}}$.

Si la función es del tipo f(x)=acx+d$f(x)={\displaystyle \frac{a}{cx+d}}$, su gráfica también es una hipérbola. En este caso:

limx→±∞acx+d=0;limx→−d/cacx+d=±∞$$\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a}{cx+d}=0\text{;}\underset{x\to -d/c}{lim}\frac{a}{cx+d}=\pm \mathrm{\infty }$$

Ahora la asíntota horizontal vuelve a ser el eje X$X$ (y=0$y=0$), y la asíntota vertical es la recta x=−dc$x=-{\displaystyle \frac{d}{c}}$.

Por ejemplo, la representación gráfica de la función 3−2x+6${\displaystyle \frac{3}{-2x+6}}$ es una hipérbola de asíntotas y=0$y=0$, x=−6−2⇒x=3$x=-{\displaystyle \frac{6}{-2}}\Rightarrow x=3$:

En general, las funciones del tipo f(x)=ax+bcx+d$f(x)={\displaystyle \frac{ax+b}{cx+d}}$ (funciones racionales donde los polinomios del numerador y del denominador son de grado 1), son hipérbolas de asíntota horizontal y=ac$y={\displaystyle \frac{a}{c}}$ y asíntota vertical x=−dc$x=-{\displaystyle \frac{d}{c}}$.

La razón es porque, por un lado, (recuérdese cómo se resolvía, para las funciones racionales, la indeterminación "infinito partido por infinito").

Y, por otro, porque

Teniendo en cuenta lo anterior y los puntos de corte con los ejes, es muy fácil hacerse una idea de la representación gráfica de una hipérbola del tipo general f(x)=ax+bcx+d$f(x)={\displaystyle \frac{ax+b}{cx+d}}$.

Por ejemplo, imaginemos que nos piden representar la hipérbola de ecuación −3x+6x−1${\displaystyle \frac{-3x+6}{x-1}}$.

Según lo razonado anteriormente la asíntota horizontal de la hipérbola es y=−3$y=-3$, y la asíntota vertical es x=1$x=1$. Además:

Por otro lado, el punto de corte con el eje X$X$ es (2,0)$(2,0)$, y el punto de corte con el eje Y$Y$ es (0,−6)$(0,-6)$.

Con los datos anteriores es bastante fácil dibujar la hipérbola. En la gráfica siguiente está representada en color rojo. En color azul se han representado las asíntotas de la misma.

IMAGEN DE LA FUNCION DE PROPORCIONALIDAD INVERSA

FUNCION DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Función lineal de proporcionalidad directa

• Una función lineal de proporcionalidad directa es aquella cuya expresión matemática viene dada por:

donde  e  son variables y  una constante que se denomina pendiente o constante de proporcionalidad. Su gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas.

• Si , la función que se obtiene, , recibe el nombre de función identidad.

Actividades Interactivas: Función lineal de proporcionalidad directa La función identidad y otros ejemplos de funciones lineales de proporcionalidad directa. Actividad:[Mostrar]

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Pendiente de una recta

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La pendiente y el crecimiento

Proposición

---

La pendiente  de una recta mide la inclinación de la misma, de manera que:

• Si , la función es creciente.
• Si  la función es decreciente.
• Si  la función es constante (recta horizontal).

Actividades Interactivas: La pendiente y el crecimiento Significado de la pendiente en relación con el crecimiento de la función lineal. Actividad:[Mostrar]

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Cálculo de la pendiente

Cálculo de la pendiente

---

La pendiente de una recta se puede hallar de la siguiente manera:

para lo cual es necesario disponer de dos puntos de la recta y hallar las variaciones restando sus coordenadas  e , respectivamente.

Actividades Interactivas: Cálculo de la pendiente Averigua el valor de la pendiente de una recta. Actividad:[Mostrar]

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Ejercicios

Ejercicio: Función lineal 1. Un grifo tiene un caudal de 5 dm3 por minuto. a) Haz una tabla de valores de la función tiempo-capacidad. b) Representa gráficamente la función. c) Halla la expresión algebraica de la función. IMAGEN DE FUNCION DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA

FUNCIONES: FUNCION AFIN LINEAL Y FUNCION PROPORCIONAL DIRECTA

FUNCION  LINEAL  DE PROPORCIONAL DIRECTA

Función lineal de proporcionalidad directa

• Una función lineal de proporcionalidad directa es aquella cuya expresión matemática viene dada por:

donde  e  son variables y  una constante que se denomina pendiente o constante de proporcionalidad. Su gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas.

• Si , la función que se obtiene, , recibe el nombre de función identidad.

Actividades Interactivas: Función lineal de proporcionalidad directa La función identidad y otros ejemplos de funciones lineales de proporcionalidad directa. Actividad:[Mostrar]

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Pendiente de una recta

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La pendiente y el crecimiento

Proposición

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La pendiente  de una recta mide la inclinación de la misma, de manera que:

• Si , la función es creciente.
• Si  la función es decreciente.
• Si  la función es constante (recta horizontal).

Actividades Interactivas: La pendiente y el crecimiento Significado de la pendiente en relación con el crecimiento de la función lineal. Actividad:[Mostrar]

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Cálculo de la pendiente

Cálculo de la pendiente

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La pendiente de una recta se puede hallar de la siguiente manera:

para lo cual es necesario disponer de dos puntos de la recta y hallar las variaciones restando sus coordenadas  e , respectivamente.

Actividades Interactivas: Cálculo de la pendiente Averigua el valor de la pendiente de una recta. Actividad:[Mostrar]

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Ejercicios

Ejercicio: Función lineal 1. Un grifo tiene un caudal de 5 dm3 por minuto. a) Haz una tabla de valores de la función tiempo-capacidad. b) Representa gráficamente la función. c) Halla la expresión algebraica de la función.

POTENCIACION Y RADICACION EN NOTACION CIENTIFICA

POTENCIACION Y RADICACION DE NUMEROS EN NOTACION CIENTIFICA

La potenciación de números en notación científica

Se eleva la mantisa a la potencia y se multiplican los exponentes.

Ejemplo:

• (3×10⁶)² = 9×10¹²

Radicación de números escritos en notación científica

Se debe extraer la raíz de la mantisa y se divide el exponente por el índice de la raíz.

Ejemplos:

IMAGEN EN POTENCIACION Y RADICACION DE NUMEROS EN NOTACION CIENTIFICA

MULTIPLICACION Y DIVISION DE NOTACION CIENTIFICA

Producto de números expresados en notación científica

Para multiplicar cantidades escritas en notación científica se multiplican las mantisas y se suman los exponentes (basta recordar cómo se multiplican potencias de la misma base).

Ejemplos:

• a) (4×10¹²)×(2×10⁵) = 8×10¹⁷
• b) (3×10¹²)×(2×10^-7) = 6×10⁵

División de números que están expresados Producto de números expresados en notación científica

Para multiplicar cantidades escritas en notación científica se multiplican las mantisas y se suman los exponentes (basta recordar cómo se multiplican potencias de la misma base).

Ejemplos:

• a) (4×10¹²)×(2×10⁵) = 8×10¹⁷
• b) (3×10¹²)×(2×10^-7) = 6×10⁵

División de números que están expresados en notación científica

Para dividir cantidades escritas en notación científica se dividen las mantisas y se restan los exponentes (el del numerador menos el del denominador, o sea el del dividendo menos el del divisor).

Ejemplos:

• a) (4×10¹²)/(2×10⁵) = 2×10⁷ Esto es:
   
  
• b) (24×10¹²)/(8×10^-7) = 3×10¹⁹ Escrito en forma de fracción sería:
   
  

en notación científica

Para dividir cantidades escritas en notación científica se dividen las mantisas y se restan los exponentes (el del numerador menos el del denominador, o sea el del dividendo menos el del divisor).

Ejemplos:

• a) (4×10¹²)/(2×10⁵) = 2×10⁷ Esto es:
   
  
• b) (24×10¹²)/(8×10^-7) = 3×10¹⁹ Escrito en forma de fracción sería:
   
  

 IMAGEN DE LA MULTIPLICACION Y DIVISION DE NOTACION CIENTIFICA

                              

          

Suma y resta de notación cientifica

OPERACIONES MATEMÁTICAS CON NOTACIÓN CIENTÍFICa

Suma y resta de números expresados en notación científica

Siempre que las potencias de 10 sean las mismas, se deja la potencia de 10 con el mismo grado y se suman los números que multiplican a las potencias de 10 (o sea, se deben sumar las mantisas).

En caso de que no tengan el mismo exponente hay que hacer una transformación previa para obtener el mismo exponente, para ello la mantisa se multiplica o divide por 10 tantas veces como sea necesario hasta conseguir el mismo exponente.

Ejemplos:

• a) 2×10⁵ + 3×10⁵ = 5×10⁵
• b) 3×10⁵ - 0.2×10⁵ = 2.8×10⁵
• c) 2×10⁴ + 3 ×10⁵ - 6 ×10³ = (tomamos el exponente 5 como referencia) = 0,2 × 10⁵ + 3 × 10⁵ - 0,06 ×10⁵ = 3,14 ×10⁵
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