FUNCIONES: FUNCION AFIN LINEAL Y FUNCION PROPORCIONAL DIRECTA

FUNCION  LINEAL  DE PROPORCIONAL DIRECTA

Función lineal de proporcionalidad directa

• Una función lineal de proporcionalidad directa es aquella cuya expresión matemática viene dada por:

donde  e  son variables y  una constante que se denomina pendiente o constante de proporcionalidad. Su gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas.

• Si , la función que se obtiene, , recibe el nombre de función identidad.

Actividades Interactivas: Función lineal de proporcionalidad directa La función identidad y otros ejemplos de funciones lineales de proporcionalidad directa. Actividad:[Mostrar]

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Pendiente de una recta

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La pendiente y el crecimiento

Proposición

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La pendiente  de una recta mide la inclinación de la misma, de manera que:

• Si , la función es creciente.
• Si  la función es decreciente.
• Si  la función es constante (recta horizontal).

Actividades Interactivas: La pendiente y el crecimiento Significado de la pendiente en relación con el crecimiento de la función lineal. Actividad:[Mostrar]

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Cálculo de la pendiente

Cálculo de la pendiente

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La pendiente de una recta se puede hallar de la siguiente manera:

para lo cual es necesario disponer de dos puntos de la recta y hallar las variaciones restando sus coordenadas  e , respectivamente.

Actividades Interactivas: Cálculo de la pendiente Averigua el valor de la pendiente de una recta. Actividad:[Mostrar]

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Ejercicios

Ejercicio: Función lineal 1. Un grifo tiene un caudal de 5 dm3 por minuto. a) Haz una tabla de valores de la función tiempo-capacidad. b) Representa gráficamente la función. c) Halla la expresión algebraica de la función.

POTENCIACION Y RADICACION EN NOTACION CIENTIFICA

POTENCIACION Y RADICACION DE NUMEROS EN NOTACION CIENTIFICA

La potenciación de números en notación científica

Se eleva la mantisa a la potencia y se multiplican los exponentes.

Ejemplo:

• (3×10⁶)² = 9×10¹²

Radicación de números escritos en notación científica

Se debe extraer la raíz de la mantisa y se divide el exponente por el índice de la raíz.

Ejemplos:

IMAGEN EN POTENCIACION Y RADICACION DE NUMEROS EN NOTACION CIENTIFICA

MULTIPLICACION Y DIVISION DE NOTACION CIENTIFICA

Producto de números expresados en notación científica

Para multiplicar cantidades escritas en notación científica se multiplican las mantisas y se suman los exponentes (basta recordar cómo se multiplican potencias de la misma base).

Ejemplos:

• a) (4×10¹²)×(2×10⁵) = 8×10¹⁷
• b) (3×10¹²)×(2×10^-7) = 6×10⁵

División de números que están expresados Producto de números expresados en notación científica

Para multiplicar cantidades escritas en notación científica se multiplican las mantisas y se suman los exponentes (basta recordar cómo se multiplican potencias de la misma base).

Ejemplos:

• a) (4×10¹²)×(2×10⁵) = 8×10¹⁷
• b) (3×10¹²)×(2×10^-7) = 6×10⁵

División de números que están expresados en notación científica

Para dividir cantidades escritas en notación científica se dividen las mantisas y se restan los exponentes (el del numerador menos el del denominador, o sea el del dividendo menos el del divisor).

Ejemplos:

• a) (4×10¹²)/(2×10⁵) = 2×10⁷ Esto es:
   
  
• b) (24×10¹²)/(8×10^-7) = 3×10¹⁹ Escrito en forma de fracción sería:
   
  

en notación científica

Para dividir cantidades escritas en notación científica se dividen las mantisas y se restan los exponentes (el del numerador menos el del denominador, o sea el del dividendo menos el del divisor).

Ejemplos:

• a) (4×10¹²)/(2×10⁵) = 2×10⁷ Esto es:
   
  
• b) (24×10¹²)/(8×10^-7) = 3×10¹⁹ Escrito en forma de fracción sería:
   
  

 IMAGEN DE LA MULTIPLICACION Y DIVISION DE NOTACION CIENTIFICA

                              

          

Suma y resta de notación cientifica

OPERACIONES MATEMÁTICAS CON NOTACIÓN CIENTÍFICa

Suma y resta de números expresados en notación científica

Siempre que las potencias de 10 sean las mismas, se deja la potencia de 10 con el mismo grado y se suman los números que multiplican a las potencias de 10 (o sea, se deben sumar las mantisas).

En caso de que no tengan el mismo exponente hay que hacer una transformación previa para obtener el mismo exponente, para ello la mantisa se multiplica o divide por 10 tantas veces como sea necesario hasta conseguir el mismo exponente.

Ejemplos:

• a) 2×10⁵ + 3×10⁵ = 5×10⁵
• b) 3×10⁵ - 0.2×10⁵ = 2.8×10⁵
• c) 2×10⁴ + 3 ×10⁵ - 6 ×10³ = (tomamos el exponente 5 como referencia) = 0,2 × 10⁵ + 3 × 10⁵ - 0,06 ×10⁵ = 3,14 ×10⁵
•            

POTENCIAS DE DIEZ Y NOTACIÓN CIENTIFICA

POTENCIAS DE DIEZ Y NOTACIÓN  CIENTÍFICA

Potencia de Diez y Notación Científica

31 de marzo de 2011 Publicado por Monica González

Aquí en La Guía de Física ya hemos visto varios ejemplos, principalmente en la electricidad, donde utilizamos numerosas expresiones en potencia de diez y notaciones científicas.

En este artículo veremos lo que es la potencia de diez y la notación científica y como esta notación matemática nos puede ayudar en la resolución de problemas de Física.

Tal vez este texto pueda parecer demasiado simple, pero muchos alumnos frecuentemente tienen muchas dudas al respecto de la utilización de la potencia de diez, por eso corresponde abocarnos a una explicación clara sobre la misma.

En muchos ejercicios nos encontramos con la dificultad de presentar una distancia muy grande en una unidad no adecuada, por ejemplo, representar la distancia de la Tierra y la Luna en centímetros. Bien, colocar todos los algoritmos de esta distancia en centímetros, daría un gran trabajo para no equivocarse en la cantidad de ceros a ser utilizados.

Pero existe una forma más fácil, solo utilizando la notación científica. La notación científica consiste en representar los números, seguidos de la potencia de diez.

La potencia de diez es utilizada para abrevar múltiplos (o submúltiplos) de diez como sigue:

100 = 10 x 10;

1000 = 10 x 10 x 10;

100000 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10.

Para escribir estos números de una forma abreviada, basta indicar el número de decenas involucradas en la multiplicación con un pequeño número (exponente) encima de la potencia de diez.

Así entonces, si 100 = 10 x 10, podemos decir que 100 = 102. De la misma forma 1000 = 103 y 100000 = 105.

En estos ejemplos, el exponente es igual al número de ceros.

Para los submúltiplos de diez, también utilizamos el sistema exponencial. Así:

0,01 = 1/10 x 1/10

0,001 = 1/10 x 1/10 x 1/10

0,00001 = 1/10 x 1/10 x 1/10 x 1/10 x 1/10

En este caso, para abreviar esos números indicamos el número de espacios decimales con exponente negativo encima de la potencia de 10.

Entonces si 0,01 = 1/10 x 1/10, podemos expresar que 0,01 = 10-2. De la misma forma,  0,001 = 10-3 e 0,00001 = 10-5.

Para escribir un número en notación científica debemos obedecer el siguiente formato: A x 10B donde A debe ser un número que esté entre 1 y 9, o sea, debe ser mayor o igual a 1 y menor que 10 y B un número de ceros (o espacios decimales si el exponente fuese negativo) del número.

Veamos ahora algunos ejemplos:

40 es igual a 4 veces 10 1, entonces en notación científica se representa 40 = 4 x 101.

15000 es igual a 15 veces 1000, o 1,5 veces 10000. Como 10000 que es igual a 104 entonces en notación científica podemos representarlo como 1,5 x 104.

0,2 se corresponde a 2 dividido entre 10, o 2 multiplicado por 0,1 que se corresponde a 1/10.

Como 1/10 puede ser representado como 10-1, entonces en notación científica podemos representarlo como 0,2 = 2 x 10-1.

Notamos entonces que es mucho más fácil representar números muy grandes o muy pequeños utilizando la notación científica de la potencia de diez.

                                                 IMAGEN DE POTENCIAS DE DIEZ

                                                   

PROBLEMAS POR ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES

Pasos para resolver problemas por ecuaciones lineales con dos variables

Para resolver estos problemas podemos seguir tres pasos: 1. Elegir las incógnitas x e y que siempre coinciden con lo que nos preguntan en el problema. 2. Plantear dos ecuaciones traduciendo el problema al lenguaje algebraico 3. Resolver el sistema. Por último conviene siempre comprobar que la solución es correcta o al menos que tiene sentido. Hay una serie de “problemas tipo” que se resuelven fácilmente y el planteamiento de las ecuaciones siempre es igual. Pero también hay problemas para los que el planteamiento de las ecuaciones es más complicado. Lee el enunciado las veces que haga falta hasta que comprendas las dos ecuaciones que hay que plantear.

Ejemplo 1

El costo total de 5 libros de texto y 4 lapiceros es de $32.00; el costo total de otros 6 libros de texto iguales y 3 lapiceros es de $33.00. Hallar el costo de cada artículo.

SOLUCIÓN: Sea x= el costo de un libro en pesos, y y= el costo de un lapicero en pesos. Según el problema obtenemos las dos ecuaciones:

La solución de este sistema es de x=4, y y=3, es decir, el costo de cada libro de texto es $4.00 y el costo de cada lapicero es $3.00. Estos resultados pueden comprobarse fácilmente. Así, el costo de 5 libros de texto y 4 lapiceros es igual a 5(4) +4(3) = $32 y el costo de 6 libros de texto y 3 lapiceros es igual a 6(4) +3(3) = $33.

IMAGEN DE LAS ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES 

                                          

EJERCICIOS RESUELTOS DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES POR EL METODO GRAFICO

EJERCICIOS DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES POR EL METODO GRAFICO.

Sistemas método gráfico rectas coincidentes

Sistemas método gráfico rectas paralelas

IMAGEN DE METODO GRAFICO

 TIENE UNA SOLUCION

 TIENE INFINITAS SOLUCIONES

 NO TIENE SOLUCION LAS RECTAS SON PARALELAS